המתמטיקה והמציאות האובייקטיבית

אחת השאלות המסקרנות במסגרת הפילוסופיה של הפיזיקה היא השאלה הבאה: כיצד יתכן שהמתמטיקה, שהיא כל כולה פרי רוחו של האדם, מתארת באופן מוצלח כל כך את המציאות האובייקטיבית? בחיבור זה אנסה לבאר את התמיהה הזו, וגם לתת לה מענה מסויים כפי הבנתי. מה שאכנה כאן בשם "מציאות אובייקטיבית" מתייחס למציאות החומרית של עולם התופעות, או למה שאנו בדרך כלל מכנים "הטבע".

פיזיקאי תאורטיקן בעבודה בקפיטריה של ברקלי. לקוח מהפוסט
In search of brainpower של Steve Hsu (רוב תודות לסטיב).

המתמטיקה היא מבנה לוגי סדור. כל דיסציפלינה מתמטית מושתתת על סט של הגדרות מופשטות, על מספר מצומצם של הנחות יסוד ועל סדרה של פעולות מוגדרות היטב המותרות להפעלה על האובייקים הבסיסיים שהגדרנו. על בסיס שלוש אלו אנו מפתחים מערכת סדורה ובנויה לתלפיות של היגדים, מסקנות והבניות, וכל דבר ודבר מחייב הוכחה בסטנדרטים גבוהים ביותר הנקבעים על ידי קהילת המתמטיקאים כולה. לצורך זה פיתחו המתמטיקאים שפה ייחודית ומשוכללת שאיננה מאפשרת 'להחליק' בעיות.

בין אם מדובר בהמצאה ובין אם מדובר בגילוי - ויש אסכולות לכאן ולכאן - העשייה המתמטית היא בעיקרה פרי רוחם של הוגי המתמטיקה, ומה שמדריך אותם במלאכתם הוא עקביות, דיוק, ועושר מבני. המתמטיקה היא במובנים רבים סוג של שפה אנושית, אלא שלהבדיל מהשפות בן אנו דוברים בחיי היום-יום, היא מדויקת מאוד, אוניברסלית, וחד משמעית. ועם זאת, אף ששני מתמטיקאים ידונו על מבנה מתמטי מסויים בשפה הנקיה מכפל-משמעויות, הרי שכל אחד מהם יצוק לתוכה פרשנויות אישיות המשקפות את רוחו, את היקף עולם הדימויים שלו, את השכלתו וכיו"ב. רוחנו החופשית מאפשרת לכל אחד ואחד מאיתנו להביט על אמת מתמטית מסויימת מזווית ראייה הייחודית רק לנו.

הנקודה המפתיעה בכל הסיפור הזה היא שהמתמטיקה - שהיא כאמור פרי רוחו של האדם - מתארת את המציאות באופן מאוד מדויק. חוקי הטבע עצמם, הדינמיקה של מערכות פיזיקליות, ההתנהגות של מערכות מורכבות ומרובות רבדים, תכונותיהם הצורניות של הגופים הגשמיים, מיון העצמים בטבע לקבוצות כאלו ואחרות, לחבורות... כל אלו ועוד מצייתים ללוגיקה המתמטית באופן מפליא ואף תמוה. למעשה נראה כאילו המציאות עצמה היא מתמטית באופן אינהרנטי, מעין הגשמה מלאה של המחשבה המתמטית. הבה נחדד אם כן את התמיהה:

כיצד זה שחוקי הטבע ניתנים לניסוח באמצעות המתמטיקה, אשר כל כולה מעוגנת ברוחו של האדם? מדוע שתהא המציאות האובייקטיבית נתונה בסד החשיבה האנושית?

על כך אנסה להשיב עתה.

 

סבור אני שהתודעה - פסגת ההישגים של הטבע - היא סוג משוכלל ביותר של מה שמקובל לכנות בפיזיקה 'תופעה מגיחה'. מעין עירור קולקטיבי עצמאי הצף ועולה על גבי אינספור תהליכי העיבוד שמבצע המוח, אך במנותק מכל ההתרחשויות הפיזיות המשרות אותו. מתוך האמור לעיל יוצא איפה שאנו תופסים את המציאות ואת עצמנו באופן טרנסצדנטי ואין תודעתנו ניתנת לא לרדוקציה ולא לכל סוג של דקונסטרוקציה. אברי החישה אמנם מזינים את התודעה כל העת ב'אינפוטים' החיוניים לתפיסת המציאות, אך גם להם אין דבר וחצי דבר לא עם המציאות ולא עם התודעה המפענחת אותה.

 

מי יתקע לידנו שתודעתנו מספקת שיקוף אמין של המציאות האובייקטיבית? למען האמת, לא איש. כל שנוכל לומר הוא שתודעתנו מפותחת מספיק כדי להבטיח את קיומנו הפיזי בעולם שהוא לכאורה זר ומנוכר. אמירה זו תופסת כמובן גם לגבי בעלי החיים, תהא תודעתם אשר תהא.

חלק בלתי נפרד ממבנה התודעה שלנו כבני אנוש הוא מה שאנו מכנים לוגיקה. בשפה מטאפורית, הלוגיקה היא אוסף התבניות לתוכן אנו יוצקים את תפיסת המציאות שלנו, והיא זו המאפשרת לנו להעלות ברוחנו תמונת עולם סדורה ומדוייקת. אין זה הכרח שהלוגיקה "שלנו" היא הדרך היחידה לתפוס את המציאות האובייקטיבית באופן עקבי וחד משמעי, אבל ככל הנראה זו הדרך היחידה הפתוחה בפנינו אם חפצנו בתיאור עקבי וכמותי שלה. ומכיוון שהמתמטיקה היא הביטוי הנאצל של התבניות הללו, הרי שבאמצעותה אנו מתארים את המציאות ומבינים אותה. המתמטיקה היא אם-כן בבואה של המבנה של התודעה האנושית ולאו דווקא של הטבע...

ובכן, האם המציאות האובייקטיבית היא מתמטית מיסודה? לעניות דעתי, לא ולא! המציאות האובייקטיבית קיימת במנותק לגמרי מהחוויה האישית שלנו, אף שמבחינה פיזית אנו מוכלים בה. היא פשוט "שם". אלא שהמתמטיקה היא השיטה העיקבית והכלי הכמותי באמצעותו יש לאל ידנו לתפוס אותה. משום כך אין זה נכון לומר שחוקי הטבע מצייתים למתמטיקה, אבל יהיה זה בהחלט נכון לומר שהמתמטיקה היא הדרך האחת הפתוחה בפנינו לנסח את חוקי הטבע.

תודעה היפותטית מסוג שונה, נאמר של ישויות "חוץ-ארציות" כלשהן, קרוב לודאי שהייתה מפתחת "מתמטיקה אחרת" כדי לתאר את אותה המציאות האובייקטיבית. הייתי מסתכן ומנחש שאפילו האריתמטיקה במתכונתה המוכרת לא הייתה שורדת את המעבר מהמתמטיקה "שלנו" למתמטיקה "שלהם". אבל שתי הפרקטיקות המתמטיות הללו, אף שהן עשויות להיות זרות מאוד זו לזו, הן לא יותר משתי שפות לוגיות שונות הצומחות ועולות מתוך שני מבני תודעה שונים בתכלית כדי לתאר את אותה מציאות אובייקטיבית. 

 

למה נוכל להמשיל זאת? לשני צופים אינרציאליים הנותנים תיאור פנומנולוגי שונה לחלוטין לאותה מציאות אובייקטיבית. למשל, אחד מהם עשוי לטעון ששני מאורעות מסוימים הם בו-זמניים, בעוד שהאחר יטען ששני המאורעות הללו מתרחשים בזמנים שונים. שניהם צודקים לחלוטין, שניהם מתארים בדיוק את אותה המציאות הפיזיקלית, אלא שהמציאות הזו מתגשמת באופן שונה עבור כל אחד מהם (זהו תוצא ידוע של תורת היחסות הפרטית).

לסיכום,

זה לא הטבע שמציית למרות המתמטיקה, אלא תודעתנו היא המצייתת למרות הזו. ואילו הפיזיקה עצמה אינה תאור של המציאות אלא בבואת תודעתנו בבואנו לתפוס ולתאר את המציאות.

אנו מתארים את חוקי הטבע בשפה מתמטית משום שאין לנו כל ברירה אחרת; זו ככל הנראה הדרך האחת בה נוכל לפרש את המציאות האובייקטיבית הנגלית לחושינו באופן עקבי וחד משמעי. אין בכך כדי לשלול קיומן של פרשנויות אחרות למציאות, אלא שהללו אינן נגישות לנו, לפחות לא באופן כמותי. יתרה מזאת, אין גם ביטחון שהמתמטיקה תוכל אי פעם לספק לנו תמונה מלאה של המציאות האובייקטיבית. אבל זה מה יש, וזה לגמרי לא מעט...