יום שבת, 9 באפריל 2011

ההוויה בראי היחסות הפרטית, חלק ג'


מקובל לראות באיחודן המושלם של התופעות החשמליות והתופעות המגנטית את אחד ההישגים המרשימים ביותר של היחסות הפרטית. אלא שלא רבים מודעים לכך שמשוואות מקסוול הן אינווריאנטיות למעבר בין מערכות התמד כבר בפרדיגמה הגלילאנית! לא זו בלבד שארבע משוואות וקטוריות אלו נשמרות תחת טרנספורמציית גליליי ברקע של מרחב וזמן מוחלטים, אלא שאפילו אם נניח את המקורות של השדה האלקטרומגנטי (מטענים וזרמים חשמליים) על מצע דינאמי, כך שלכל נקודה במרחב התלת-מימדי יש וקטור מהירות תלוי-זמן משל עצמה, עדיין תכבדנה המשוואות הללו את הסימטריה הגליליאנית.



ואולם הפסטורליה הזו היא מקסם שוא היות והואקום האלקטרומגנטי, להבדיל ממשוואות מקסוול, איננו מכבד את הסימטריה הגלילאנית. די בכך כדי להבין שהסימטריה הזו אינה סמטריה בסיסית של הטבע ויש להחליפה בסמטריה רחבה יותר, כלומר בסימטריה של לורנץ, מה שמוביל מייד להתפכחות מרעננת מהאשליה של האתר. הדרישה לקיומו של ואקום אלקטרומגנטי אוניברסלי המשותף לכל מערכות ההתמד מחייבת את ניסוחן של שתי משוואות וקטוריות נוספות - אינווריאנטיות תחת טרנספורמציית לורנץ - המכונות "קשרי המבנה" (ולפעמים גם, באופן מטעה, "קשרי האתר"), והן אלו המעניקות למהירות האור סטטוס אוניברסלי מיוחד. מכאן אנו למדים שמשוואות מקסוול לכשעצמן אינן מתארות את המציאות האלקטרומגנטית, אלא אם הן באות בצמוד לקשרי המבנה. נכון יהיה לדעתי להתייחס אל הקשרים הללו כאל "תעודת הזהות" האלקטרומגנטית של הואקום. 

כל התורה האלקטרומגנטית כולה מתמצאת, אם כן, בשני סטים קומפקטיים של משוואות בארבעה משתנים וקטוריים: ארבעת משוואות מקסוול ושני קשרי מבנה. הנה:


\begin{aligned}\begin{array}{cc}\left.\begin{array}{rcl}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&=&\rho\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&=&\boldsymbol{j}\\\nabla\cdot\boldsymbol{B}&=&0\\\nabla\times\boldsymbol{E}&=&-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}\quad\end{array}\right|&\begin{array}{rcl}\boldsymbol{\mathcal{D}}&=&\epsilon_{0}\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}&=&\mu_{0}\boldsymbol{\mathcal{H}}\end{array}\end{array}\end{aligned}

המשוואות הללו הן אינווריאנטיות תחת מעבר בין מערכות התמד, ובמילים אחרות, הן מכבדות את הסימטריה של חבורת לורנץ. זהו תנאי הכרחי, גם אם לא מספיק, כדי להיכלל בקטגוריה של "חוק טבע". מה עוד חסר כדי שנוכל להכתיר את מערכת המשוואות הזו כחוק טבע? התשובה המדוייקת לכך היא: הגשמה של סמטריית כיול. הסקטור האלקטרומגנטי כולו מתגשם מתוך קיומה של סימטריה לוקלית תחת טרנספורמציות פאזה, העוברת כחוט השני בין כל החלקיקים החומריים. למה הכוונה? במכניקה הקוונטית מתואר כל חלקיק חומרי באמצעות פונקציית גל. הפיזיקה הגלומה בפונקציית הגל אמורה להיות שקופה לפאזה של הפונקציה, גם אם הפאזה הזו היא תלויית נקודת מרחב-זמן, כלומר מקומית. השקיפות הזו מכתיבה באופן אוטומטי את קיומו של סקטור כוחות נפרד - הוא הסקטור האלקטרומגנטי. על הרעיון המדהים הזה ועל ההרחבות שלו לסקטורי הכוחות האחרים (שדות יאנג-מילס באינטראקציות גרעיניות) ארחיב ברשומה נפרדת.


כל צופה, מכל מערכת התמד, ישתמש בדיוק באותו סט משוואות - זה המוגש למעלה - כדי לתאר את מכלול כל התופעות האלקטרומגנטיות הניגלות לו בסקאלות מזוסקופיות (בד"כ הוא יעדיף לפתח להן גרסא אינטגראלית קודם לכן, ראו הקובץ המצורף ברשימתי הראשונה על LaTeX). לא ניתן לגרוע מהן פסיק, לא ניתן להוסיף להן אות. משוואות אלו הן החותם האלקטרומגנטי של הטבע במרחב-זמן נטול כבידה, והחותם הזה הוא מוחלט, ואיננו נתון לפרשנויות אישיות. זהו ספר החוקים האלקטרומגנטי של הטבע; ארבעת השדות הוקטוריים של האלקטרומגנטיות מצייתים למערכת של משוואות חלקיות מצומדות שאין להפירן, ותלותם זה בזה כפופה לחוקיות נוקשה. זוהי תמונה מלאה ומאחדת של כל מכלול התופעות החשמליות והמגנטיות, והיא עקבית ושלמה אך ורק במסגרת תורת היחסות הפרטית. ובאמת, הדרייב המקורי של אינשטיין לניסוח תורת היחסות הפרטית הגיע מהאחדת מכלול התופעות האלקטרומגנטיות.

כפי שהדגשתי בחלק ב', מוחלטותה של המציאות מכתיבה תופעתיות שהיא לחלוטין בעיני המתבונן. במילים אחרות, האובייקטיביות של המציאות ושל חוקי הטבע מכתיבה תופעתיות סובייקטיבית. וכך גם בכל מה שקשור באלקטרומגנטיות: כל הצופים האינרציאלים משתמשים בדיוק באותו סט של משוואות כדי לתאר את המציאות האלקטרומגנטית, ואולם כל אחד מהם מודד ערכים שונים כמעט לכל גודל מעניין. לדוגמא: צופה הנמצא במערכת הצמודה למטען חשמלי מודד שדה אלקטרוסטטי בעטיו של אותו מטען, והוא איננו מבחין בשדות מגנטים שהם. ומנגד, כל צופה אחר הנע ביחס אליו במהירות קבועה מודד גם שדה מגנטי. אפילו החוק השלישי של ניוטון לא שורד את המעבר ממערכת התמד אחת לרעותה: שני חלקיקים טעונים הנעים זה בניצב לזה מפעילים זה על זה כוחות שאינם מצביעים בכיוונים מנוגדים... וגם כאן, ממש כמו במכניקה, ישנם אינווריאנטים השקופים לטרנספורמציית לורנץ; הלגרנג'יאן האלקטרומגנטי הוא רק דוגמא אחת לכך.

הנה כי כן, חוקי הטבע הם מוחלטים, והמוחלטות הזו מכתיבה תופעתיות יחסית. היות והיחסות הפרטית מנסחת את חוקי הטבע מתוך עקרונות יסוד, ומכיוון שמטרתה לתאר את הטבע ברמה הראשונית ביותר, ראוי אולי היה לכנותה "תורת המוחלטות" דווקא. היחסיות של התופעות היא משנית למוחלטות של המציאות, ונגזרת ממנה כהכרח לוגי. המציאות האובייקטיבית משמשת אמת מידה אחידה לכל צופה, ואף שצופים שונים עשויים לדווח על תופעתיות שונה בהתבוננם באותה מציאות בדיוק, הרי שחוק אחד לכולם ודרך אחת ויחידה פתוחה בפניהם בבואם לתרגם תופעתיות ממערכת למערכת. לכן, לא בעולם הזוי של נרטיבים סובייקטיבים אנו חיים אלא בתוך מציאות המשקפת אידאה של שלמות מבנית.

                               לחלק ב'

2 comments:

  1. אין ספק שהמשמעויות האונטולוגיות של תורת היחסות לא חלחלו לתודעת המדענים. למשל, הפסקה האחונה קובעת שעולם התופעות (המציאות הנגלית) הינו פחות ממשי מהחוקים המוחלטים שקובעים אותו. כל המושגים ה'משישים' גודמת מסה, אנרגיה, אורך וזמן מתגלים כנעדרי ממשות אמיתית - יותר נכון - כהשתקפות של ממשות אמיתית. מעניין שדוקא אינשטיין האמין בראליזם - קיום של עולם חומרי אובייקטיבי, כאשר מפעל חייו רומז על כך שהעולם האובייקטיבי לא נמצא במה שנגיש לחושים.

    השבמחק
  2. 'המדענים' אינם גוף מונוליטי וחסר גוונים, ובוודאי יש לא מעט תאורטיקנים המבינים היטב את המשמעויות האונתולוגיות של היחסות. ככל הידוע לי אינשטיין העדיף את הגישה של שפינוזה שהיה כידוע אדם בעל אמונה חזקה (גם אם היה נונקומפורמיסט). זאת ועוד: אני מאמין שאינשטיין הבין יותר טוב מכל אחד אחר את המשמעויות הפילוסופיות של ה'בייבי' שלו. הערה נוספת: אנרגיה אורך וזמן אינם נעדרי ממשות אלא שכל צופה מודד עבורם ערך אחר. אנו נוהגים לומר שאלו הם גדלים לא-אינווריאנטים. אבל תמיד אפשר לבנות מהם גדלים אינווריאנטים. לדוגמא: אלמנט אורך במרחב מינקובסקי (שיש לו חתיכה דמויית-מרחב וחתיכה-דמויית זמן) הוא אינווריאנט.

    השבמחק