בטרם נתקלתי במשוואות לגראנג' ובניסוח ההמילטוניאני של המכניקה הקלאסית לא העלתי על דעתי שאפשר לחבר את המכניקה עם עולם האידאות האפלטוניות באופן אצילי כל כך... זכור לי כמה מרותק ומוקסם ישבתי בכיתה כאשר אהרון כשר שרבט את הפיתוח על הלוח, ללא רשימות עזר, בקלילות וכלאחר-יד. ואולם על האלגנטיות והעומק שביסודה של תאוריה פיזיקלית מלאה למדתי לראשונה מעתי קובץ, ששכח לגמרי שהוא מלמד תלמידים בסמסטר הרביעי, והציג משנה סדורה בדמותה של תורה טנזורית קווריאנטית. פתרון האוסצילטור ההרמוני באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה היה מבחינתי סוג של יצירה לירית, ואל היופי שבמצבים הקוהרנטיים התוודעתי רק במהלך המבחן בסוף הסמסטר, הודות ליוסף דותן שעורר השראה אמתית בתלמידיו, במיוחד בזמן בחינה...
כל זה היה בתואר הראשון, יותר משנות דור חלפו מאז. איכשהו התגלגלתי ללימודים גבוהים ושם נחשפתי לחומר מתקדם יותר ולניסוחים שנראו בעיני אלגנטיים במידה שלא תיאמן; כאן למדתי לראשונה מהי מקצועיות אמתית בעשייה המחקרית. והנה דבר חשוב שהפנמתי רק בשלב זה: עד שאינך נחשף בעצמך לניסוחים כה אלגנטיים ואסתטיים, אינך יכול לשער את היתכנותם; לא תוכל זאת אף לא בניסיון למתוח את גבולות הדמיון. מקצועיות ראויה היא בד-בבד גם שליטה בכלים הרלוונטיים, גם עמקות וגם רוחק-ראות. ובתוך כל העושר הזה אתה מוצא את אותן פנינים אשר לטעמך הן המשובחות שבמשובחות, אלו שעומק מסתתר בן, יופי ושלמות פנימית הקולעת לטעמך האישי; מן הסתם, מגיע השלב בו אתה מוסיף נדבך או שניים משלך, ובצידם של לא מעט קשיים שבדרך אתה זוכה מידי פעם בפעם לטעום סיפוק עמוק.
כל מי שלומד אלקטרומגנטיות "מלמטה למעלה" יודע שהתורה הזו, "על אף יופיה המשגע - לא תדע אהבה אמיתית לעולם". וזאת מפאת מה? היות ופתרונותיה נראים מורכבים ומייגעים וניתנים לניסוח כללי רק באופן פורמלי כאינטגרל לגמרי לא טריוויאלי על המקורות במקרה הטוב, וכמשוואה אינטגרלית במקרה הנפוץ כאשר המקורות מושפעים מהשדות ולהפך. אבל את התורה האלקטרומגנטית אפשר לפתח גם... מלמעלה למעלה. על בסיס שנים שלושה עקרונות יסוד פשוטים אך עמוקים מתקבלת תורה מושלמת מבחינה מבנית, אלגנטית ועמוקה ושורתה התחתונה הן שלוש משוואות קצרצרות המקפלות בחובן עולם ומלואו. מתוך שלוש המשוואות הללו נוכל לגזור את כל שלל התופעות האלקטרומגנטיות, גם אם לא תמיד ניתן יהיה להתירן באופן אנליטי.
אין מצב עניינים זה מוגבל לתורה האלקטרומגנטית בלבד. מבט מעמיק על שלוש הכוחות הנוספים שבטבע, היינו הכוח החלש, הכוח החזק, וכוח הכבידה, חושף יופי מבני שאין לתאר בשפת הדיוטות. המפתח כאן הוא מידת המקצועיות: המקצוען רואה את הדברים ממעוף הציפור וראייתו מרחיקה עד מעבר לאופק. וכל זה מתאפשר באמצעות כלים מתמטיים רבי עצמה ויופי, אותם הוא סיגל לעצמו מתוך מאבק מתמיד במגבלותיו ומתוך דחף של שוחר-אמת אמיתי. בשנות התשעים, בהיותי תלמיד מחקר אצל יובל נאמן, כיליתי מירב זמני בניסיון להטמיע בתודעתי את השפה של הגאומטריה הדיפרנציאלית האין-מימדית (...). הדרך אל הארץ המובטחת הזו הייתה עבורי רצופה חתחתים ומהמורות בשל מגבלותיי הטבעיות, שהרי לא נולדתי גאון מתמטי ואין בי מטבעי כישורים אנליטיים מעוררי השתהות...
כאן אין קיצורי דרך. השלב הראשון וההכרחי הוא השגת שליטה מלאה בכלים הבסיסיים של האלגברה הלינארית והחשבון האינפיניטסימלי. איך עושים זאת? מתרגלים כמה שיותר ועם "אש בעיניים"; רודפים אתגרים, קושרים קצוות ומחפשים עקביות... השלב הבא הוא המשוכה הגובה את רוב הקורבנות, היינו משוכת ההפשטה. צא ולמד כיצד להכליל את הכלים שבידך ואת התובנות שרחשת... בתום השנה השנייה ללימודיי בתואר ראשון יצאתי לחודש מילואים של שמירות ליליות בדרום הרחוק. נטלתי עימי ספר קטנטן ומלא-סימנים מסתוריים בחשבון טנזורים. הייתה לי תחושה שאין להסבירה שהספרון הזה אוצר בחובו אוצר גדול. כל לילה הייתי קורא בו ולא מבין, קורא ולא מבין... שבע פעמים קראתי בספר מראשיתו ועד סופו ולא פיצחתי צפונותיו; ולפתע ופתאום, ללא כל התראה, נפלה חומת הבערות, אור של הבנה בקע את העכירות ההכרתית וחדווה של הישגיות וניצחון בלתי הפיך הציפה את הלב... והשפה הזו - שפת הטנזורים - היא לי שפת-אם עד היום, כמעט כמו העברית...
וכמו אצל כל אדם בריא ברוחו, עם האוכל בא התיאבון. החשבון הטנזורי על יריעות \(n\)-ממדיות הוא רק שלב הביניים במסע ההעפלה מעלה, והוא מלא באינדקסים מכאן ועד להודעה חדשה; מי שעוצר בשלב הזה, עוצר באמצע הדרך. אל תוך העולם הגאומטרי המופלא הזה - כך מסתבר - אפשר להטמיע בטבעיות חבורות-לי ואלגברות-לי... וכשלומדים כיצד לעשות זאת מתקבלים ניסוחים עמוקים יותר וכוללניים יותר, אשר יש בם את הכוח לתאר לראשונה סימטריות יסודיות בטבע. אלא שכל חבורה כזו באה עם מרחב הצגה משלה ועם אלגברה של יוצרים, והנה נוספו לנו דרגות-חופש מן הגורן ומן היקב, שונים בטבעם מאלו שהורגלנו בהם. לוקליזציה גאומטרית של המבנים האלגברים הללו וקוונטיזציה קנונית תנפקנה עתה את התיאור המלא של הכוחות היסודיים בטבע (מה שמכונה בעגה המקצועית תורת יאנג מילס הקוונטית) אלא שהניסוח הטנזורי ייראה עתה מלא-סימנים ומבלבל... מרוב עצים מתקשים להבחין בטבעו של היער.
וכאן מגיעה הקפיצה הגדולה: המעבר מכתיב \(n\)-ממדי לכתיב אין-ממדי המבוסס על קונספט מתמטי בשם "אגד סיבים". הספר הראשון שקראתי בתחום הזה נכתב ע"י המתמטיקאי הפולני אנדרז' טראוטמן. ושוב אותם מחסומי פוטנציאל אדירים, הבנה רופפת ומאמצים גדולים להפנים את המבנים המופשטים. ושוב האינטואיציה הפנימית מרמזת על אוצר אדיר שקיים אי-שם בתוך הטקסט הכמעט בלתי קריא הזה, שהחשיפה שלו היא תנאי הכרחי להתקדמות מקצועית. וכאן מסתבר שאין 'הארות' פתאומיות ואין רחמים והמגבלות הטבעיות הן חומות אש שחצייתן אינה באה בנקל. ההתקדמות נעשית עקב בצד אגודל והנוף המתמטי ממאן להיחשף בשלמותו, לעתים נדמה שמתבהר ולעתים מתערפל מחדש. אבל איזו הקלה באה עם כל בדל של ההבנה! איזו תחושה נפלאה מגיעה עם היכולת לפתור תרגיל או להבין תזה מסוימת, עם היכולת לנסח דברים מחדש באלגנטיות ובטבעיות, לקשור קצוות.
כמובן שאף פעם לא מגיעים אל המנוחה ואל הנחלה. אבל מרגע שרחשת את היכולת לראות רחוק ולהביט עמוק אתה קוצר את חדוות המקצועיות. ספר הפיזיקה הראשון ש'בלעתי' במהלך לימודי ה- .Ph.D בהיותי מצויד בכל הכלים הללו, נכתב על קוונטיזציה אופרטורית של הכבידה; אחריו באו טקסטים בתורות שדה טופולוגיות, בתורות שדה קוונטיות על מרחב עקום, ועוד כהנה וכהנה, כולם state of the art. עונג צרוף מסבה היכולת לקרוא טקסטים אלו וגם לרדת למלוא עומקם. למרבה הצער מעטים האנשים השותפים אתך בהישגיך ומעטים הם אלו המבינים מה את שח ועל מה כל המהומה, זאת על-אף שחלקם עשויים להיות מוכשרים ממך.
רבים הם החוקרים המסתפקים בנוף היפה של אמצע הדרך ועוצרים שם; עוד מאמר ועוד אחד על נושאי נישה כאלו ואחרים בכלים מספיקים אך לא מספקים. הללו יתקשו להבין מה טעם יש בכל אותם ניסוחים אבסטרקטיים ומה תועלת מוצא אתה בם, והרי אין אילו נדרשים לצורך חישובים! ואין ביכולתך להסביר ולא לבאר הואיל וכלל ברזל הוא זה התופס תמיד: אינך רואה עד שאתה באמת רואה.
אין מצב עניינים זה מוגבל לתורה האלקטרומגנטית בלבד. מבט מעמיק על שלוש הכוחות הנוספים שבטבע, היינו הכוח החלש, הכוח החזק, וכוח הכבידה, חושף יופי מבני שאין לתאר בשפת הדיוטות. המפתח כאן הוא מידת המקצועיות: המקצוען רואה את הדברים ממעוף הציפור וראייתו מרחיקה עד מעבר לאופק. וכל זה מתאפשר באמצעות כלים מתמטיים רבי עצמה ויופי, אותם הוא סיגל לעצמו מתוך מאבק מתמיד במגבלותיו ומתוך דחף של שוחר-אמת אמיתי. בשנות התשעים, בהיותי תלמיד מחקר אצל יובל נאמן, כיליתי מירב זמני בניסיון להטמיע בתודעתי את השפה של הגאומטריה הדיפרנציאלית האין-מימדית (...). הדרך אל הארץ המובטחת הזו הייתה עבורי רצופה חתחתים ומהמורות בשל מגבלותיי הטבעיות, שהרי לא נולדתי גאון מתמטי ואין בי מטבעי כישורים אנליטיים מעוררי השתהות...
כאן אין קיצורי דרך. השלב הראשון וההכרחי הוא השגת שליטה מלאה בכלים הבסיסיים של האלגברה הלינארית והחשבון האינפיניטסימלי. איך עושים זאת? מתרגלים כמה שיותר ועם "אש בעיניים"; רודפים אתגרים, קושרים קצוות ומחפשים עקביות... השלב הבא הוא המשוכה הגובה את רוב הקורבנות, היינו משוכת ההפשטה. צא ולמד כיצד להכליל את הכלים שבידך ואת התובנות שרחשת... בתום השנה השנייה ללימודיי בתואר ראשון יצאתי לחודש מילואים של שמירות ליליות בדרום הרחוק. נטלתי עימי ספר קטנטן ומלא-סימנים מסתוריים בחשבון טנזורים. הייתה לי תחושה שאין להסבירה שהספרון הזה אוצר בחובו אוצר גדול. כל לילה הייתי קורא בו ולא מבין, קורא ולא מבין... שבע פעמים קראתי בספר מראשיתו ועד סופו ולא פיצחתי צפונותיו; ולפתע ופתאום, ללא כל התראה, נפלה חומת הבערות, אור של הבנה בקע את העכירות ההכרתית וחדווה של הישגיות וניצחון בלתי הפיך הציפה את הלב... והשפה הזו - שפת הטנזורים - היא לי שפת-אם עד היום, כמעט כמו העברית...
וכמו אצל כל אדם בריא ברוחו, עם האוכל בא התיאבון. החשבון הטנזורי על יריעות \(n\)-ממדיות הוא רק שלב הביניים במסע ההעפלה מעלה, והוא מלא באינדקסים מכאן ועד להודעה חדשה; מי שעוצר בשלב הזה, עוצר באמצע הדרך. אל תוך העולם הגאומטרי המופלא הזה - כך מסתבר - אפשר להטמיע בטבעיות חבורות-לי ואלגברות-לי... וכשלומדים כיצד לעשות זאת מתקבלים ניסוחים עמוקים יותר וכוללניים יותר, אשר יש בם את הכוח לתאר לראשונה סימטריות יסודיות בטבע. אלא שכל חבורה כזו באה עם מרחב הצגה משלה ועם אלגברה של יוצרים, והנה נוספו לנו דרגות-חופש מן הגורן ומן היקב, שונים בטבעם מאלו שהורגלנו בהם. לוקליזציה גאומטרית של המבנים האלגברים הללו וקוונטיזציה קנונית תנפקנה עתה את התיאור המלא של הכוחות היסודיים בטבע (מה שמכונה בעגה המקצועית תורת יאנג מילס הקוונטית) אלא שהניסוח הטנזורי ייראה עתה מלא-סימנים ומבלבל... מרוב עצים מתקשים להבחין בטבעו של היער.
וכאן מגיעה הקפיצה הגדולה: המעבר מכתיב \(n\)-ממדי לכתיב אין-ממדי המבוסס על קונספט מתמטי בשם "אגד סיבים". הספר הראשון שקראתי בתחום הזה נכתב ע"י המתמטיקאי הפולני אנדרז' טראוטמן. ושוב אותם מחסומי פוטנציאל אדירים, הבנה רופפת ומאמצים גדולים להפנים את המבנים המופשטים. ושוב האינטואיציה הפנימית מרמזת על אוצר אדיר שקיים אי-שם בתוך הטקסט הכמעט בלתי קריא הזה, שהחשיפה שלו היא תנאי הכרחי להתקדמות מקצועית. וכאן מסתבר שאין 'הארות' פתאומיות ואין רחמים והמגבלות הטבעיות הן חומות אש שחצייתן אינה באה בנקל. ההתקדמות נעשית עקב בצד אגודל והנוף המתמטי ממאן להיחשף בשלמותו, לעתים נדמה שמתבהר ולעתים מתערפל מחדש. אבל איזו הקלה באה עם כל בדל של ההבנה! איזו תחושה נפלאה מגיעה עם היכולת לפתור תרגיל או להבין תזה מסוימת, עם היכולת לנסח דברים מחדש באלגנטיות ובטבעיות, לקשור קצוות.
כמובן שאף פעם לא מגיעים אל המנוחה ואל הנחלה. אבל מרגע שרחשת את היכולת לראות רחוק ולהביט עמוק אתה קוצר את חדוות המקצועיות. ספר הפיזיקה הראשון ש'בלעתי' במהלך לימודי ה- .Ph.D בהיותי מצויד בכל הכלים הללו, נכתב על קוונטיזציה אופרטורית של הכבידה; אחריו באו טקסטים בתורות שדה טופולוגיות, בתורות שדה קוונטיות על מרחב עקום, ועוד כהנה וכהנה, כולם state of the art. עונג צרוף מסבה היכולת לקרוא טקסטים אלו וגם לרדת למלוא עומקם. למרבה הצער מעטים האנשים השותפים אתך בהישגיך ומעטים הם אלו המבינים מה את שח ועל מה כל המהומה, זאת על-אף שחלקם עשויים להיות מוכשרים ממך.
רבים הם החוקרים המסתפקים בנוף היפה של אמצע הדרך ועוצרים שם; עוד מאמר ועוד אחד על נושאי נישה כאלו ואחרים בכלים מספיקים אך לא מספקים. הללו יתקשו להבין מה טעם יש בכל אותם ניסוחים אבסטרקטיים ומה תועלת מוצא אתה בם, והרי אין אילו נדרשים לצורך חישובים! ואין ביכולתך להסביר ולא לבאר הואיל וכלל ברזל הוא זה התופס תמיד: אינך רואה עד שאתה באמת רואה.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה